微分の歴史

「オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ」（吉田武著、東海大学出版会、2010）という本を使うゼミに参加した。本の内容を紹介すると、オイラーの公式「e^iθ＝cosθ＋isinθ」を導くことを目標に、関連する数学を解説していくというもの。参加者は、本の章立て（微分、積分、三角関数などの数学の分野名になっている）に沿って発表をしていく。

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私は微分を担当した。微分は高校時代に得意だったから選択した。微分ってどういうことだろう？といろいろ調べていくうちに、微分っていつできたんだ？と歴史が気になってきた。

微分は、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによって成立した。彼らは同時期にそれぞれ別のアプローチで接線問題や求積問題に取り組み、微積分学の基本定理（微分と積分は逆の関係にある）を発見した。ニュートンは微積分学の基本定理を1666年に発見、1704年に発表し、ライプニッツは1684年に発表した。
時系列で見ると、ニュートンによる微分の発見と発表の間にライプニッツの発表が入っているため、どちらが微分を先に発見したのかで一悶着あったようである…

微分の概念は「接線」の概念から生まれたものだ。古代ギリシャの時代には既に接線の概念が存在していた。ユークリッドの幾何学を中心とした当時の数学において接線は、「円と１点のみを共有する直線」と定義された。しかし、接線についての本格的な議論は長い間なされず、時代は中世に。
数学において中世の最大の出来事の１つは、デカルトによる座標の発明だ。座標によって幾何学と代数学が結びついた。定規やコンパスで書かれていた直線や曲線は、座標や代数の概念を使ってより厳密かつ正確に示すことができるようになった。そして、接線は注目を集めるようになる。
デカルトやフェルマーなどの数学者が、曲線に接線を引く方法（「接線問題」）の解決を目指した。デカルトは、方程式を使って楕円上の１点における法線を導き、接線を求めた（1637年）。フェルマーは矩形の面積を題材に、無限小の概念（無限小数e）を取り入れた極値決定法を考え、その方法を利用して接線を引いた（1638年）。しかしどちらも、平面上のどんな曲線にも接線が引ける方法とは言えなかった。

接線問題を解決に導いたのはニュートンだ。ニュートンは、曲線や直線は小さな点が時間の経過とともに動いた軌跡である、という考えのもと、動点の進行方向である接線の傾きを計算する方法を考案した。無限小の時間を表すο（オミクロン）という記を取り入れ、動点がx軸方向に進む距離をxο、y軸方向に進む距離をyοとし、これらの値を曲線の式に代入して、最後にοを含む項を捨てる。この方法は「流率法」と呼ばれている。
一方ライプニッツは、今日の微分で使用されている、dxやdyなどの記号を生み、曲線と曲線上のある点における接線と垂線、軸で作られる三角形の辺の比を、微小な三角形の辺の比と等しくなるようにする、という考えから傾きを求めた。また、定数の微分や加減乗除の公式を発表した。

ニュートンとライプニッツによって提示された微分は、「無限小」の概念が十分に論理付けされていなかったため、今日のような厳密さが欠けていた。しかし、微分の概念は、力学や天文学など数学を用いる諸科学分野で応用可能、かつ実用的であったため、複数の科学者によって普及していった。微分概念の普及や発展に貢献した数学者は、ベルヌーイやロピタル、オイラー、ラグランジュ、ラプラスなどである。

微分学が厳密性を伴うようになったのは、19世紀に入ってからだ。仏の数学者コーシーは、1821年に発表した「解析教程」で「極限」や「無限小」、「連続関数」の概念を定義し、解析学の基礎を刷新し、その後デーデキントやカントールによる実数論などを経て、今日の微分の基礎が完成した。

正直、上記した各数学者の考えた理論を完全に理解したとは言えないのだが、微分成立の歴史をざっくりまとめるとこんな感じになる。時の中で１つ１つ論理性に欠けるところをつぶし、普遍的に成り立つものへと発展していく過程が見て取れる。
今あるものは、たくさんの人の積み重ねによって出来上がったもの。数学に限った話ではない。他の学問だって、お店に売ってる商品だって、人間だってそう。

ドイツ語学習での覚書

この4月からドイツ語を習い始めた。週3回、各90分の授業。授業はそれぞれ「文法」「会話」「読解」に重点を置く、という形でドイツ文学やオーストリア文学が専門の3人の先生から習っている。

ドイツ語は興味があったわけでもなく、ドイツ語を話す知り合いや友達がいるわけでもなく、触れる機会といったら、たまーにドイツ映画を観るくらい、といった程度。完全な初学者で、習い始めてから2ヵ月くらいはドイツ語の仕組みがいまいち把握できず、英語の仕組みともごっちゃになり、予習や宿題が億劫で仕方がなかった。しかし、続けてみると慣れるもので今ではそこそこ楽しくなってきている。

この数ヵ月間のドイツ語学習を振り返ってみると、ドイツ語の理解が進むきっかけがあったように思う。

1つめは、音とそれに対応する文字が頭の中で一致し始めたことだ。これは、単語を見てその単語を発音できる、または、単語を聞いてその単語を文字に起こすことができる、ということである。
そういえば語学の教科書を見てみると、その言語に使われる文字とその発音がまとまっている表や、発音のルールが一番最初のセクションに載っているものは多い。今まで特に意識したことがなかったが、音と文字の対応というのはけっこう重要なのかもしれない。
実際これがある程度できると、音と文字の関連付けがあやふやなときより、単語が記憶に残りやすく、意味も覚えやすい。単語の音だけを覚えようとしても、似ている音を混同して間違って覚えていたりすることがある。単語のスペルだけを覚えるにしても、記号にすぎない文字の並びを写真のようにそのまま再現するのは単語数が増えるほど厳しくなる。しかし、音と文字が対応すると、頭の中で単語の外観のようなものが正しく確立される。そして、その単語が表しているイメージや観念（単語の意味）がそこに入り込み、１つの単語が完成する。
もちろん、いくら単語の音と文字で外観を支えても、時間とともに中身の意味がすっかり抜け落ちるいうのは避けられないので、要反復練習になるわけだが…

2つめは、文の構造を捉えられるようになったことである。文を単語もしくは句レベルに分解して、単語や句がどういう役割を果たしているか（主語、目的語、述語、この句はどの単語、句に係っているのかなど）を捉え、文の意味を理解する。もちろんこれには文法の基礎を習得することがなんといっても不可欠。文法はとにかく覚える、としか言いようがないのだが、文法を分かっていることが果たす役割は大きい。もちろん、ある程度のレベルの短文は単語の意味を知っていれば対処が可能である。しかし長文、複文になってくると単語の意味だけでは収拾がつかないことはしばしばある。しかも、テストでもない限り知らない単語は辞書で引けばいいが、文法はそういうわけにはいかない。文法が分かっていれば、文が自ずと整理されて解けるようになる。
文法の重みは、英語学習を振り返ってみても実感する。ここ数年来、会話で英語を使うことを目的に英語学習をしてきたが、会話でよく使うフレーズを覚えたところで広げられる表現の幅には限界がある。それよりも英文法をマスターしたほうが自分の伝えたいことが伝えられるようになる。言いたいことを口に出せるかどうかは慣れや訓練の問題だ。

ということで、私のドイツ語学習は音読と文法を中心に。